Question

13．函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，f′（1）=1，f′（x）＜$\frac{1}{2}$，f（x²）＜$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$．

• A． （-∞．-1）
• B． （1，+∞）
• C． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• D． （-1，1）

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，根據(jù)單調(diào)性建立關(guān)系，解之即可．

解答 解：令F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
則F′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$，
∵f′（x）＜$\frac{1}{2}$，
∴F′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＜0，
∴F（x）在R上單調(diào)遞減
∵f（1）=1，∴F（1）=f（1）-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=1-1=0，
∴f（x）-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$＜0等價(jià)為F（x）＜0=F（1），
即x＞1，
則不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$的解為x＞1，
由f（x²）＜$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$．
可得x²＞1，解得x＞1或x＜-1，
故不等式的解集為（-∞，-1）∪（1，+∞），
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的求解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．