Question

18．若存在x₀∈（0，3），使不等式x₀³-12x₀+ax₀+a-7＜0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （4，8）
• B． [4，9）
• C． （-∞，4]
• D． （-∞，9）

Answer 1

分析 利用參數(shù)分離法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{-{x}^{3}+12x+7}{x+1}$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的極值和最值進(jìn)行求解即可．

解答 解：若存在x₀∈（0，3），使不等式x₀³-12x₀+ax₀+a-7＜0成立，
等價(jià)為若存在x₀∈（0，3），使不等式a（x₀+1）＜-x₀³+12x₀+7成立，
即a＜$\frac{-{{x}_{0}}^{3}+12{x}_{0}+7}{{x}_{0}+1}$，
設(shè)f（x）=$\frac{-{x}^{3}+12x+7}{x+1}$，
則f′（x）=$\frac{（-3{x}^{2}+12）（x+1）-（-{x}^{3}+12x+7）}{（x+1）^{2}}$
=$\frac{-2{x}^{3}-3{x}^{2}+5}{（x+1）^{2}}$=$\frac{-2{x}^{3}+2{x}^{2}-5{x}^{2}+5}{（x+1）^{2}}$=$\frac{-2{x}^{2}（x-1）-5（{x}^{2}-1）}{（x+1）^{2}}$
=$\frac{-2（x-1）（2{x}^{2}+5x+5）}{（x+1）^{2}}$，
由f′（x）＞0得-2（x-1）（2x²+5x+5）＞0，得x-1＜0，得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)遞增，
由f′（x）＜0得-2（x-1）（2x²+5x+5）＜0，得x-1＞0，得1＜x＜3，此時(shí)函數(shù)遞減，
即當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極大值，同時(shí)也是最大值f（1）=$\frac{-1+12+7}{1+1}=\frac{18}{2}$=9，
∵f（0）=7，f（3）=$\frac{-{3}^{3}+12×3+7}{3+1}$=$\frac{16}{4}$=4，
即當(dāng)x∈（0，3），則4＜f（x）≤9，
要使a＜f（x），
則a＜9，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)存在性問題的求解，利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的極值和最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．