Question

18．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$經(jīng)過點$（1，\frac{3}{2}）$，離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點（1，0）的直線l與橢圓C交于兩點A，B，若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-2$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式求得b²=$\frac{3}{4}$a²，將$（1，\frac{3}{2}）$代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）設直線方程，代入橢圓方程，由韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算，即可求得k的值，求得橢圓方程．

解答 解：（1）由橢圓e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，則b²=$\frac{3}{4}$a²，
將$（1，\frac{3}{2}）$代入橢圓，$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{4}{a}^{2}}=1$，解得：a²=4，b²=3，
故橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）當直線的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，則A（1，$\frac{3}{2}$），B（1，-$\frac{3}{2}$），
則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{5}{4}$≠-2，
當直線的斜率存在時，設直線l的方程y=k（x-1），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{k}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1），
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1），
=（1+k²）x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²，
=$\frac{-5{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
由$\frac{-5{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$=-2，解得：k=±$\sqrt{2}$，
直線l的方程y=±$\sqrt{2}$（x-1）．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．