Question

已知函數(shù)f(x)=

ax+b

x2+1

在點(diǎn)M（-1，y₀）的切線方程為x+y+3=0．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=lnx，求證：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將x=-1代入切線方程x+y+3=0可得M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）利用切點(diǎn)在函數(shù)圖象上，該點(diǎn)的切線的斜率為-1，建立方程，即可求得函數(shù)的解析式；
（Ⅲ）利用分析法證明，要證lnx≥

2x-2

x2+1

在[1，+∞）上恒成立，轉(zhuǎn)化為證明x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：將x=-1代入切線方程x+y+3=0得y₀=-2，∴M（-1，-2）…（2分）
（Ⅱ）解：f(-1)=

b-a

1+1

=-2，化簡(jiǎn)得b-a=-4①．…（4分）
求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=

a(x2+1)-(ax+b)•2x

(1+x2)2

，則f′(-1)=

2a+2(b-a)

4

=

2b

4

=

b

2

=-1②．…（6分）
由①②解得：a=2，b=-2
∴f(x)=

2x-2

x2+1

．  …（8分）
（Ⅲ）證明：要證lnx≥

2x-2

x2+1

在[1，+∞）上恒成立
即證（x²+1）lnx≥2x-2在[1，+∞）上恒成立
即證x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．…（10分）
設(shè)h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，h′(x)=2xlnx+x+

1

x

-2
∵x≥1，∴2xlnx≥0，x+

1

x

≥2，即h'（x）≥0．…（12分）
∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，屬于中檔題．