Question

【題目】已知函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)。

（1）求的解析式；

（2）若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用是偶函數(shù)得到關(guān)于對(duì)稱(chēng)，從而，解得a，進(jìn)而得到解析式.

（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，令，對(duì)求導(dǎo)，研究單調(diào)性及極值，得到大致圖像，由圖可得m的范圍.

（1）由題可知所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，

由于是偶函數(shù)，

所以，即關(guān)于對(duì)稱(chēng)

所以，即，

所以

（2）方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根.

令，由（1）有，

所以，令，則或。

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.

所以，當(dāng)時(shí)，取得極大值；當(dāng)時(shí)，取得極小值，

又由于≥0，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

其大致圖像：

所以，方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根時(shí)，m的范圍是