Question

已知數(shù)列，滿足，，
（1）已知，求數(shù)列所滿足的通項公式；
（2）求數(shù)列 的通項公式；
（3）己知，設(shè)＝，常數(shù),若數(shù)列是等差數(shù)列，記，求.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：（1）這屬于數(shù)列的綜合問題，我們只能從已知條件出發(fā)進(jìn)行推理，以向結(jié)論靠攏，由已知可得，從而當(dāng)時有結(jié)論
，很幸運(yùn)，此式左邊正好是，則此我們得到了數(shù)列的相鄰兩項的差，那么為了求，可以采取累加的方法（也可引進(jìn)新數(shù)列）求得，注意這里有，對要另外求得；（2）有了第（1）小題，那么求就方便多了，因為，這里不再累贅不；（3）在（2）基礎(chǔ)上有，我們只有求出才能求出，這里可利用等差數(shù)列的性質(zhì)，其通項公式為的一次函數(shù)（當(dāng)然也可用等差數(shù)列的定義）求出，從而得到，那么和的求法大家應(yīng)該知道是乘公比錯位相減法，借助已知極限可求出極限.
試題解析：(1)，
．
當(dāng)時，有．
又，，
．
數(shù)列的遞推公式是.
于是，有．
∴.
（說明：這里也可利用，依據(jù)遞推，得
）
由（1）得，
又，可求得．
當(dāng)時，，符合公式．
數(shù)列的通項公式．
(3)由(2)知，，．又是等差數(shù)列，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)是關(guān)于的一次函數(shù)或常值函數(shù)，即()．
于是，，

，
．
所以，．