如圖，已知是長軸為的橢圓上三點，點是長軸的一個頂點，過橢圓中心，且.

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程；

(2)如果橢圓上兩點使直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，是否總存在實數(shù)使?請給出證明．

 

【答案】

(1)(2) 存在實數(shù)使證明：設(shè)直線的方程為，所以直線的方程為由橢圓方程與直線的方程聯(lián)立，消去得

，所以同理

又，所以，所以，即存在實數(shù)使成立

【解析】

試題分析：(1)以為原點，所在的直線為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，橢圓方程可設(shè)為

而為橢圓中心，由對稱性知

又，所以

又，所以

所以為等腰直角三角形，所以點的坐標(biāo)為

將 代入橢圓方程得   則橢圓方程為

(2)由直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，設(shè)直線的斜率為，

則直線的斜率為，直線的方程為，

直線的方程為

由橢圓方程與直線的方程聯(lián)立，消去得

     ①

因為在橢圓上，所以是方程①的一個根，于是

  同理

這樣，

又，所以

即.所以，即存在實數(shù)使.

考點：求橢圓方程及直線與橢圓相交韋達(dá)定理的應(yīng)用

點評：本題對于高二文科學(xué)生有一定的難度，可區(qū)分出優(yōu)秀學(xué)生與一般學(xué)生

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（A）（幾何證明選講選做題）如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3cm，4cm，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點D，則BD的長為=
16
5
16
5
；
（B）（不等式選講選做題）關(guān)于x的不等式|x-1|+|x-2|≤a2+a+1的解集為空集，則實數(shù)a的取值范圍是
（-1，0）
（-1，0）
；
（C）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知極坐標(biāo)的極點在直角坐標(biāo)系的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的參數(shù)方程為
x=3cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-
π
3
)=6．點P在曲線C上，則點P到直線l的距離的最小值為
6-
3
6-
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知圓與軸負(fù)半軸的交點為. 由點出發(fā)的射線的斜率為. 射線與圓相交于另一點

（1）當(dāng)時，試用表示點的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)時，求證：“射線的斜率為有理數(shù)”是“點為單位圓上的有理點”的充要條件；（說明：坐標(biāo)平面上，橫、縱坐標(biāo)都為有理數(shù)的點為有理點.我們知道，一個有理數(shù)可以表示為，其中、均為整數(shù)且、互質(zhì)）

（3）定義：實半軸長、虛半軸長和半焦距都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”.

當(dāng)為有理數(shù)且時，試證明：一定能構(gòu)造偶數(shù)個“整勾股雙曲線”(規(guī)定：實軸長和虛軸長都對應(yīng)相等的雙曲線為同一個雙曲線)，它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和半徑的數(shù)值構(gòu)成. 說明你的理由并請嘗試給出構(gòu)造方法.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知是長軸為4的橢圓上的三點，點是長軸的一個頂點，過橢圓中心 （如圖），且，

（I）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如果橢圓上的兩點，使的平分線垂直于，是否總存在實數(shù)，使。請給出證明。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年廣東省實驗中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

如圖，已知橢圓，O為原點，點M是橢圓右準(zhǔn)線上的動點，以O(shè)M為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓交于P、Q兩點，直線PQ與橢圓相交于A、B兩點，則|AB|的取值范圍是    ．

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