【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的最大值;
(2)當(dāng),確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)若存在正實(shí)數(shù)對(duì),使得當(dāng)時(shí),能成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2)個(gè);(3).
【解析】
(1)由題意可知,對(duì)任意的恒成立,利用參變量分離法和基本不等式可求得實(shí)數(shù)的最大值;
(2)當(dāng)時(shí),,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,并求出該函數(shù)的極大值和極小值,進(jìn)而可得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(3)當(dāng)時(shí),由可得,令,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的值域,即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,,
由題意可知對(duì)任意的恒成立,,
當(dāng)時(shí),由基本不等式可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,
所以,,因此,實(shí)數(shù)的最大值為;
(2)當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)?/span>,.
令,得或,列表如下:
極大值 | 極小值 |
所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.
所以,函數(shù)的極大值為,極小值為,
且,
所以,函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn);
(3),,
,
令,得,構(gòu)造函數(shù),,
令,得,,解得,
當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí),.
所以,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
所以,函數(shù)的最小值為,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),證明:在上恒成立;
(2)若函數(shù)有唯一零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】袋中有大小相同的紅、黃兩種顏色的球各1個(gè),從中任取1只,有放回地抽取3次.
求:(1)3只全是紅球的概率;
(2)3只顏色全相同的概率;
(3)3只顏色不全相同的概率。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在底面為銳角三角形的直三棱柱中,是棱的中點(diǎn),記直線與直線所成角為,直線與平面所成角為,二面角的平面角為,則( )
A.B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三個(gè)校區(qū)分別位于扇形OAB的三個(gè)頂點(diǎn)上,點(diǎn)Q是弧AB的中點(diǎn),現(xiàn)欲在線段OQ上找一處開(kāi)挖工作坑P(不與點(diǎn)O,Q重合),為小區(qū)鋪設(shè)三條地下電纜管線PO,PA,PB,已知OA=2千米,∠AOB=,記∠APQ=θrad,地下電纜管線的總長(zhǎng)度為y千米.
(1)將y表示成θ的函數(shù),并寫出θ的范圍;
(2)請(qǐng)確定工作坑P的位置,使地下電纜管線的總長(zhǎng)度最。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是實(shí)數(shù),函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(2)設(shè)為在區(qū)間上的最小值,寫出的表達(dá)式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,圓經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程及直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求證:;
(2)討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷,規(guī)定凡在該超市購(gòu)物滿400元的顧客,均可獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì).摸獎(jiǎng)規(guī)則如下:獎(jiǎng)盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個(gè)球(紅、黃、黑、白).顧客不放回的每次摸出1個(gè)球,若摸到黑球則摸獎(jiǎng)停止,否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)20元,摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)10元,摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì).
(1)求1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止的概率;
(2)記X為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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