4．在某校，一學(xué)科的學(xué)習(xí)由必修、選修兩門課程組成，對(duì)某層次學(xué)生調(diào)查統(tǒng)計(jì)知，有且僅有一門課程獲得學(xué)分概率為$\frac{5}{12}$，至少一門課程獲得學(xué)分的概率為$\frac{11}{12}$．規(guī)定兩門課程都獲得學(xué)分該學(xué)科才能結(jié)業(yè)．已知必修課程獲得學(xué)分的概率大于選修課程獲得學(xué)分的概率且互不影響．
（1）對(duì)該層內(nèi)的A同學(xué)，該學(xué)科能結(jié)業(yè)的概率是多少？
（2）在該層次的同學(xué)中隨機(jī)抽取5名，記X為其中能結(jié)業(yè)的學(xué)生數(shù)，求X的期望EX與方差DX．

分析 （1）設(shè)該層內(nèi)的任意一同學(xué)必修課程獲得學(xué)分的概率為p，選修課程獲得學(xué)分的概率為q，則（1-p）q+p（1-q）=$\frac{5}{12}$，1-（1-p）（1-q）=$\frac{11}{12}$，聯(lián)立解得pq即可得出．
（2）由題意可得：X～B$（5，\frac{1}{2}）$，即可得出E（X），D（X）．

解答 解：（1）設(shè)該層內(nèi)的任意一同學(xué)必修課程獲得學(xué)分的概率為p，選修課程獲得學(xué)分的概率為q，
則（1-p）q+p（1-q）=$\frac{5}{12}$，1-（1-p）（1-q）=$\frac{11}{12}$，
聯(lián)立解得pq=$\frac{1}{2}$．
∴該學(xué)科能結(jié)業(yè)的概率為$\frac{1}{2}$．
（2）由題意可得：X～B$（5，\frac{1}{2}）$，E（X）=5×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$．D（X）=5×$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)分布列的概率與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式及其性質(zhì)、相互獨(dú)立及其對(duì)立事件的概率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

14．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，A，B分別為左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F做x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)P，Q，連接PB交y軸于點(diǎn)E，連結(jié)AE交QF于點(diǎn)M，若M是線段QF的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（　�。�
A．2B．$\frac{5}{2}$C．3D．$\frac{7}{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

15．已知函數(shù)f（x）=sin（$\frac{π}{3}$-2x）-$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{6}$+2x），x∈R，則f（x）是（　�。�
A．最小正周期為π的偶函數(shù)B．最小正周期為2π的奇函數(shù)
C．最小正周期為π的奇函數(shù)D．最小正周期為2π的偶函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．某省2016年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的原始成績(jī)采用百分制，發(fā)布成績(jī)使用等級(jí)制．各等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)為：85分及以上，記為A等；分?jǐn)?shù)在[70，85）內(nèi)，記為B等；分?jǐn)?shù)在[60，70）內(nèi)，記為C等；60分以下，記為D等．同時(shí)認(rèn)定A，B，C為合格，D為不合格．已知甲，乙兩所學(xué)校學(xué)生的原始成績(jī)均分布在[50，100]內(nèi)，為了比較兩校學(xué)生的成績(jī)，分別抽取50名學(xué)生的原始成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出甲校的樣本頻率分布直方圖如圖1所示，乙校的樣本中等級(jí)為C，D的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示．
（I）求圖中x的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)比較甲乙兩校的合格率；
（Ⅱ）在乙校的樣本中，從成績(jī)等級(jí)為C，D的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，求抽出的兩名學(xué)生中至少有一名學(xué)生成績(jī)等級(jí)為D的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

19．設(shè)集合$A=[（x，y）|\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}≤1]，B=[（x，y）|\left\{\begin{array}{l}|x|≤m\\|y|≤n\end{array}\right.，0＜m＜5，0＜n＜4且（m，n）∈A]$，則集合∁AB對(duì)應(yīng)圖形面積取得最小值時(shí)，m+n的值為（　　）
A．$\frac{{9\sqrt{2}}}{2}$B．$5\sqrt{2}$C．6D．8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

2．已知函數(shù)f（x）=x3+（3-3a）x2-12ax+1（a∈R），若f（x）在區(qū)間（2，6）上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，3）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

9．已知直角△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，I是△ABC的內(nèi)心，P是△IBC內(nèi)部（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（λ，μ∈R），則λ+μ的取值范圍是（　�。�
A．（$\frac{7}{12}$，1）B．（$\frac{1}{3}$，1）C．（$\frac{1}{4}$，$\frac{7}{12}$）D．（$\frac{1}{4}$，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

6．在△ABC中，A1，B1分別是邊BA，CB的中點(diǎn)，A2，B2分別是線段A1A，B1B的中點(diǎn)，…，An，Bn分別是線段${A_{n-1}}A，{B_{n-1}}B（n∈{N^*}，n＞1）$的中點(diǎn)，設(shè)數(shù)列{an}，{bn}滿足：向量$\overrightarrow{{B_n}{A_n}}={a_n}\overrightarrow{CA}+{b_n}\overrightarrow{CB}（n∈{N^*}）$，有下列四個(gè)命題，其中假命題是（　�。�
A．數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減數(shù)列
B．數(shù)列{an+bn}是等比數(shù)列
C．數(shù)列$\{\frac{a_n}{b_n}\}$有最小值，無(wú)最大值
D．若△ABC中，C=90°，CA=CB，則$|\overrightarrow{{B_n}{A_n}}|$最小時(shí)，${a_n}+{b_n}=\frac{1}{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax2-（a+1）x+lnx，其中a∈R．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，設(shè)g（x）=-xf（x）+2，是否存在區(qū)間[m，n]⊆（1，+∞）使得函數(shù)g（x）在區(qū)間[m，n]上的值域?yàn)閇k（m+2），k（n+2）]？若存在，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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