Question

9．已知直角△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，I是△ABC的內(nèi)心，P是△IBC內(nèi)部（不含邊界）的動點，若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（λ，μ∈R），則λ+μ的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{7}{12}$，1）
• B． （$\frac{1}{3}$，1）
• C． （$\frac{1}{4}$，$\frac{7}{12}$）
• D． （$\frac{1}{4}$，1）

Answer 1

分析 如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（3，0）），c（0，4），可得r=1，直線CI：3x+y-4=0；直線BI：x+2y-3=0；直線BC：4x+3y-12=0，點P（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-4＞0}\\{x+2y-3＞0}\\{3x+4y-12＜0}\end{array}\right.$，由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，得目標(biāo)函數(shù)z=λ+μ=$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y$．

解答 解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（3，0）），c（0，4）
∵I是△ABC的內(nèi)心，∴（AC+AB+BC）×r=AB•AC⇒r=1
∴I（1，1）.$\overrightarrow{AB}=（3，0），\overrightarrow{AC}=（0，4）$
直線CI：3x+y-4=0；直線BI：x+2y-3=0；直線BC：4x+3y-12=0
點P（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-4＞0}\\{x+2y-3＞0}\\{3x+4y-12＜0}\end{array}\right.$…①
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=3λ}\\{y=4μ}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1}{3}x}\\{μ=\frac{1}{4}y}\end{array}\right.$，
∴目標(biāo)函數(shù)z=λ+μ=$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y$．可化為y=-$\frac{4}{3}x+4z$…②
不等式組①表示的區(qū)域如下圖：可知直線①過I（1，1）時，（z）_min=$\frac{7}{12}$，
過點C（0，4）時，（z）_max=1．
λ+μ的取值范圍是（$\frac{7}{12}$，1），
故選：A

點評 本題考查了向量中的最值問題，建立坐標(biāo)系進(jìn)行坐標(biāo)運算是處理向量問題的常用技巧之一，把點的位置用不等式組體現(xiàn)是解題的關(guān)鍵，屬于難題．