Question

11．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（-x）=-f（x），f（x+1）=f（1-x）且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=log₂（x+1），則f（31）=-1．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和條件求出函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，利用函數(shù)周期性和奇偶性的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答 解：∵奇函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+1）=f（1-x），
∴f（x+1）=f（1-x）=-f（x-1），即有f（x+2）=-f（x），
則f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函數(shù)f（x）是周期為4的函數(shù)，
∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=log₂（x+1），
∴f（31）=f（32-1）=f（-1）=-f（1）=-log₂2=-1，
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)條件求出函數(shù)的周期性，利用函數(shù)的奇偶性和周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．