Question

【題目】已知橢圓: 的左右焦點(diǎn)分別 ，過作垂直于軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，滿足.

（1）求橢圓的離心率.

（2）是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線分別與軸相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求橢圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）在橢圓的方程中，令可得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，即，然后根據(jù)可求得離心率．（2）設(shè)，于是可得直線MP和NP的方程，進(jìn)而得到點(diǎn)R和點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)可得，于是，故得，從而得到橢圓的方程．

（1）由題意得，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

又點(diǎn)在橢圓上，

∴，

解得，

∴，

∴，

整理得，

解得或（舍去），

∴．

（2）設(shè)，

則直線MP的方程為，

令，得，即點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為．

同理可得直線NP的方程為，

令得到Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

∴，

∴，

∴ ，

∴橢圓的方程為．