Question

【題目】已知存在常數(shù)，那么函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，再由函數(shù)的奇偶性可知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

（1）判斷函數(shù)的單調性，并證明：

（2）將前述的函數(shù)和推廣為更為一般形式的函數(shù)，使和都是的特例，研究的單調性（只須歸納出結論，不必推理證明）

Answer 1

【答案】見解析；見解析.

【解析】

采用換元的思想：令則;再借助復合函數(shù)單調性的判斷規(guī)則和奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性特點,即可得證.

由結論和題中的性質進行歸納總結，即可得出一般性結論.

判斷如下:

在上為減函數(shù),

在上為增函數(shù);

再由函數(shù)的奇偶性可知,

在上為減函數(shù),

在上為增函數(shù).

證明:令,

則,

由題可得,

在上為減函數(shù),

在上是增函數(shù);

在上為增函數(shù),

在上為減函數(shù);

由復合函數(shù)單調性判斷規(guī)則知:

在上為減函數(shù),

在上為增函數(shù);

由題知,

為偶函數(shù),

偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相反,

在上為減函數(shù),

在上為增函數(shù);

一般性結論：

函數(shù)在上為減函數(shù),

在上為增函數(shù);

再由函數(shù)的奇偶性可知,

當n為奇數(shù)時,

在上為增函數(shù),

在上為減函數(shù);

當n為偶數(shù)時,

在上為減函數(shù),

在上為增函數(shù);