已知E（2，2）是拋物線C：y2=2px上一點，經(jīng)過點（2，0）的直線l與拋物線C交于A，B兩點（不同于點E），直線EA，EB分別交直線-2于點M，N．
（1）求拋物線方程及其焦點坐標(biāo)；
（2）已知O為原點，求證：以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過原點．
分析：（1）將E（2，2）代入y2=2px，可得拋物線方程及其焦點坐標(biāo)；
（2）設(shè)出直線方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量知識，計算
OM
•
ON
=0，即可得到結(jié)論．
解答：（1）解：將E（2，2）代入y2=2px，得p=1
所以拋物線方程為y2=2x，焦點坐標(biāo)為(
1
2
，0)
（2）證明：設(shè)A(
y12
2
，y1)，B(
y22
2
，y2)，M（xM，yM），N（xN，yN），
設(shè)直線l方程為x=my+2，與拋物線方程聯(lián)立，消去x，得：y2-2my-4=0
則由韋達(dá)定理得：y1y2=-4，y1+y2=2m
直線AE的方程為：y-2=
y1-2
y12
2
-2
(x-2)，即y=
2
y1+2
(x-2)+2，
令x=-2，得yM=
2y1-4
y1+2

同理可得：yN=
2y2-4
y2+2

∴
OM
•
ON
=4+yMyN=4+
4(y1-2)(y2-2)
(y1+2)(y2+2)
=4+
4(-4-2m+4)
4(-4+2m+4)
=0
∴OM⊥ON，即∠MON為定值
π
2
．
點評：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P（x0，y0）是拋物線y2=2px（p＞0）上的一點，過P點的切線方程的斜率可通過如下方式求得：
在y2=2px兩邊同時對x求導(dǎo)，得：2yy′=2p，則y′=
p
y
，所以過P的切線的斜率：k=
p
y0
試用上述方法求出雙曲線x2-
y2
2
=1在P(
2
，
2
)處的切線方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P（x，y）是拋物線y2=-8x的準(zhǔn)線與雙曲線
x2
8
-
y2
2
=1的兩條漸近線所圍成的三角形平面區(qū)域內(nèi)（含邊界）的任意一點，則z=
y+2
x
的范圍是
[
1
2
， +∞)
[
1
2
， +∞)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：山東省濟(jì)寧市金鄉(xiāng)二中2012屆高三11月月考數(shù)學(xué)文科試題 題型：044

已知雙曲線C：的一個焦點是拋物線y2＝2x的焦點，且雙曲線C經(jīng)過點(1，)，又知直線l：y＝kx＋1與雙曲線C相交于A、B兩點．

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若，求實數(shù)k值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點P（m,3）是拋物線y=x2+4x+n上距點?A（-2,0）最近一點，則m+n等于(    )

A.1                      B.3                   C.5                      D.7

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：九江模擬 題型：填空題

已知P（x0，y0）是拋物線y2=2px（p＞0）上的一點，過P點的切線方程的斜率可通過如下方式求得：
在y2=2px兩邊同時對x求導(dǎo)，得：2yy′=2p，則y′=
p
y
，所以過P的切線的斜率：k=
p
y0
試用上述方法求出雙曲線x2-
y2
2
=1在P(
2
，
2
)處的切線方程為______．

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