Question

14．求下列各函數(shù)值域及單調(diào)遞增區(qū)間：
（1）y=$\sqrt{{3}^{2x-1}-\frac{1}{9}}$；（2）y=0.5${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，令t=3^2x-1-$\frac{1}{9}$，且t≥0，則y=$\sqrt{t}$，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得其單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合t的范圍，分析可得函數(shù)的值域；
（2）根據(jù)題意，分析可得y=0.5${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$，令t=x²-2x-1=（x-1）²-2，則t≥-2，有y=（$\frac{1}{2}$）^t，由二次函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析可得y=0.5${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得其值域．

解答 解：（1）y=$\sqrt{{3}^{2x-1}-\frac{1}{9}}$；
令t=3^2x-1-$\frac{1}{9}$，且t≥0，則y=$\sqrt{t}$，
若3^2x-1-$\frac{1}{9}$≥0，解可得x＞-$\frac{1}{2}$，即其定義域?yàn)椋?$\frac{1}{2}$，+∞）；
分析可得t=3^2x-1-$\frac{1}{9}$為增函數(shù)，y=$\sqrt{t}$也為增函數(shù)，
故y=$\sqrt{{3}^{2x-1}-\frac{1}{9}}$為增函數(shù)，其遞增區(qū)間為（-$\frac{1}{2}$，+∞）；
又由t≥0，則y=$\sqrt{{3}^{2x-1}-\frac{1}{9}}$≥0，其值域?yàn)閇0，+∞）；
（2）y=0.5${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$，
令t=x²-2x-1=（x-1）²-2，則t≥-2，有y=（$\frac{1}{2}$）^t，
分析可得當(dāng)x∈（-∞，1）時，t=x²-2x-1為減函數(shù)，而y=（$\frac{1}{2}$）^t為減函數(shù)，故y=0.5${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，+∞）時，t=x²-2x-1為增函數(shù)，而y=（$\frac{1}{2}$）^t為減函數(shù)，故y=0.5${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$為減函數(shù)，
又由t≥-2，則y=0.5${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$≤（$\frac{1}{2}$）^-2=4，
又由y=0.5${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$＞0，則其值域?yàn)椋?，4]．
其遞增區(qū)間為（-∞，1）．

點(diǎn)評 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的值域，關(guān)鍵是掌握復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法．