Question

設(shè)直線l：y=x+m，雙曲線，雙曲線的離心率為，l與E交于P，Q兩點，直線l與y軸交于點R，且
（1）證明：4a²=m²+3；
（2）求雙曲線E的方程；
（3）若點F是雙曲線E的右焦點，M，N是雙曲線上兩點，且，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知雙曲線的方程可化為2x²-y²=2a²．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）由得：x²-2mx-m²-2a²=0．由此可知4a²=m²+3．
（2）由題意知（-x₁，m-y₁）=3（x₂，y₂-m），由得m²=a²，由得a²=1則b²=2．故雙曲線的方程為；
（3）由題意知，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．由得：．設(shè)直線MN的方程為．由得：．由此可求出λ的取值范圍是．
解答：（1）∵雙曲線的離心率為，
∴，從而b²=2a²．
雙曲線的方程可化為2x²-y²=2a²．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由
得：x²-2mx-m²-2a²=0
則有x₁+x₂=2m，x₁•x₂=-m²-2a²
從而y₁+y₂=4m，y₁y₂=2m²-2a²
∵
則-m²-2a²+2m²-2a²=-3，即4a²=m²+3；
（2）∵，
∴（-x₁，m-y₁）=3（x₂，y₂-m）
∴，
由得m²=a²
由得a²=1則b²=2
故雙曲線的方程為；
（3）易知，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由得：
設(shè)直線MN的方程為．
由得：
則，
消去y₁，y₂得：
∵，
∴，
解得或
當t=0時，可求出λ=1．
當直線MN與x軸重合時，
可求出或
故λ的取值范圍是．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認真審題，仔細解答．