已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=
2|x-1|-1,0<x≤2
1
2
f(x-2),x>2
,則函數(shù)g(x)=xf(x)-1在[-6,+∞)上的所有零點之和為( �。�
A.7B.8C.9D.10
∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x).
又∵函數(shù)g(x)=xf(x)-1,
∴g(-x)=(-x)f(-x)-1=(-x)[-f(x)]-1=xf(x)-1=g(x),
∴函數(shù)g(x)是偶函數(shù),
∴函數(shù)g(x)的零點都是以相反數(shù)的形式成對出現(xiàn)的.
∴函數(shù)g(x)在[-6,6]上所有的零點的和為0,
∴函數(shù)g(x)在[-6,+∞)上所有的零點的和,即函數(shù)g(x)在(6,+∞)上所有的零點之和.
由0<x≤2時,f(x)=2|x-1|-1
f(x)=
2-x,0<x≤1
2x-2,1<x≤2

∴函數(shù)f(x)在(0,2]上的值域為[
1
2
,1],當(dāng)且僅當(dāng)x=2時,f(x)=1
又∵當(dāng)x>2時,f(x)=
1
2
f(x-2)

∴函數(shù)f(x)在(2,4]上的值域為[
1
4
,
1
2
],
函數(shù)f(x)在(4,6]上的值域為[
1
8
,
1
4
],
函數(shù)f(x)在(6,8]上的值域為[
1
16
1
8
],當(dāng)且僅當(dāng)x=8時,f(x)=
1
8
,
函數(shù)f(x)在(8,10]上的值域為[
1
32
,
1
16
],當(dāng)且僅當(dāng)x=10時,f(x)=
1
16

故f(x)<
1
X
在(8,10]上恒成立,g(x)=xf(x)-1在(8,10]上無零點
同理g(x)=xf(x)-1在(10,12]上無零點
依此類推,函數(shù)g(x)在(8,+∞)無零點
綜上函數(shù)g(x)=xf(x)-1在[-6,+∞)上的所有零點之和為8
故選B
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2x+2-x
2
,g(x)=
2x-2-x
2
,
(1)計算:[f(1)]2-[g(1)]2;
(2)證明:[f(x)]2-[g(x)]2是定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
的定義域為(0,+∞),且f(2)=2+
2
2
.設(shè)點P是函數(shù)圖象上的任意一點,過點P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.
(1)求a的值.
(2)問:|PM|•|PN|是否為定值?若是,則求出該定值;若不是,請說明理由.
(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點,求四邊形OMPN面積的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1y1),N(x2y2)
是f(x)圖象上的兩點,橫坐標(biāo)為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標(biāo)原點).
(Ⅰ)求證:y1+y2為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn;
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數(shù)列{an}的前n項和,若Tn<m(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)是f(x)圖象上的兩點,且x1+x2=1.
(1)求證:y1+y2為定值;
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)(n∈N*,N≥2),求Sn;
(3)在(2)的條件下,若an=
1
6
 ,n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
(n∈N*),Tn為數(shù)列{an}的前n項和.求Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個相鄰函數(shù)的交點為A,B,若m變化時,AB的長度是一個定值,則AB的值是(  )

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案
闂佺ǹ楠忛幏锟� 闂傚倸鍋婇幏锟�