Question

17．設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{9}{8cos2x+16}-{sin^2}x$的最小值為m，且與m對應(yīng)的x最小正值為n，則m+n=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)二倍角公式化簡，再根據(jù)基本不等式即可求出答案．

解答 解：$f（x）=\frac{9}{8cos2x+16}-{sin^2}x$=$\frac{9}{8cos2x+16}$+$\frac{cos2x-1}{2}$
=$\frac{\frac{9}{8}}{cos2x+2}$+$\frac{cos2x+2}{2}$-$\frac{3}{2}$，
∵cos2x+2＞0，
∴f（x）≥2×$\frac{3}{4}$-$\frac{3}{2}$=0，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{\frac{9}{8}}{cos2x+2}$=$\frac{cos2x+2}{2}$，
即cos2x=-$\frac{1}{2}$時等號成立，則x的最小正值為n=$\frac{π}{3}$，
∴m+n=$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的化簡和基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．