Question

12．?dāng)?shù)列{a_n}滿(mǎn)足${a_1}=\frac{1}{3}$，對(duì)任意n∈N^*，${a_{n+1}}={a_n}^2+{a_n}$，則$\sum_{n=1}^{2016}{\frac{1}{{{a_n}+1}}}$的整數(shù)部分是2．

Answer 1

分析 對(duì)任意n∈N^*，${a_{n+1}}={a_n}^2+{a_n}$，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$，可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，于是$\sum_{n=1}^{2016}{\frac{1}{{{a_n}+1}}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2017}}$=3-$\frac{1}{{a}_{2017}}$．由${a}_{1}=\frac{1}{3}$，a₂＜1，a₃＜1，a₄＞1，可得n≥4時(shí)，$\frac{1}{{a}_{n}}$∈（0，1），即可得出．

解答 解：∵對(duì)任意n∈N^*，${a_{n+1}}={a_n}^2+{a_n}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$，可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
∴$\sum_{n=1}^{2016}{\frac{1}{{{a_n}+1}}}$=-$（\frac{1}{{a}_{2017}}-\frac{1}{{a}_{2016}}）$-$（\frac{1}{{a}_{2016}}-\frac{1}{{a}_{2015}}）$-…-$（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}）$
=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2017}}$=3-$\frac{1}{{a}_{2017}}$．
∵a₂=$（\frac{1}{3}）^{2}+\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$，a₃=$（\frac{4}{9}）^{2}+\frac{4}{9}$=$\frac{52}{81}$，a₄=$（\frac{52}{81}）^{2}+\frac{52}{81}$=$\frac{6916}{6561}$＞1，
∴n≥4時(shí)，$\frac{1}{{a}_{n}}$∈（0，1），
∴3-$\frac{1}{{a}_{2017}}$∈（2，3）．
∴$\sum_{n=1}^{2016}{\frac{1}{{{a_n}+1}}}$的整數(shù)部分是2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法、整數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．