已知a>0,函數(shù)y=f(x)=x3-ax在x∈[1,∞)是一個單調(diào)函數(shù).

(1)試問函數(shù)y=f(x)在a>0的條件下,在x∈[1,∞)上能否是單調(diào)遞減函數(shù)?請說明理由;

(2)若f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),試求出實數(shù)a的取值范圍;

(3)設(shè)x0≥1,f(x0)≥1且f[f(x0)]=x0,求證:f(x0)=x0

答案:
解析:

  解  (1)(x)=3x2-a.

  若f(x)在[1,上是單調(diào)遞減函數(shù),則須<0,即a>3x2,這樣的實數(shù)a不存在,故f(x)在[1,上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).

  (2)若f(x)在[1,上是單調(diào)遞增函數(shù),則a≤3x2,

  由于x∈[1,,故3x2≥3,從而0<a≤3.

  (3)由(1),(2)可知f(x)在[1,上只能是單調(diào)增函數(shù).

  若1≤x0<f(x0),則f(x0)<f(f(x0))=x0矛盾;

  若1≤f(x0)<x0,則f(f(x0))<f(x0),即x0<f(x0)矛盾.

  故只有f(x0)=x0成立.

  (3)的別證:設(shè)f(x0)=u,則f(u)=x0,∴-ax0=u,u3-au=x0

  兩式相減得(-u3)-a(x0-u)=u-x0,

  ∴(x0-u)(+x0u+u2+1-a)=0.

  ∵x0≥1,u≥1  +x0u+u2≥3,又0<a≤3,

  +x0u+u2+1-a>0,∴x0-u=0,即u=x0,亦即f(x0)=x0.證畢.


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