Question

（2012•威海一模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=

6

，M是棱BB₁的中點(diǎn)，N是CC₁的中點(diǎn)，AC₁與A₁N相交于點(diǎn)E．
（I）求三棱錐A-MNA₁的體積；
（II）求證：AC₁⊥A₁M．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用直三棱錐的性質(zhì)和已知條件證明MN是三棱錐M-AA₁N的高，進(jìn)而利用三棱錐的體積公式即可計(jì)算出；
（Ⅱ）利用線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可證明．

解答：解：（Ⅰ）如圖所示，
由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，可得C₁C⊥底面ABC，∴C₁C⊥BC，C₁C⊥AC．
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC．
又BC∩CC₁=C，∴AC⊥側(cè)面BCC₁B₁，∴側(cè)面BCC₁B₁⊥側(cè)面ABB₁A₁．
由側(cè)面BCC₁B₁是矩形，M是棱BB₁的中點(diǎn)，N是CC₁的中點(diǎn)，
∴四邊形BCNM是矩形，∴MN=BC=1，MN⊥CC₁．
∴MN⊥側(cè)面ABB₁A₁．
在Rt△ABC中，AC=

BC

tan30°

=

3

．
∴S△AA1N=

1

2

×

6

×

3

=

3 2

2

．
∴V三棱錐A-MNA1=V三棱錐M-AA1N=

1

3

S△AA1N•MN=

1

3

×

3 2

2

×1=

2

2

．
（Ⅱ）先證明AC₁⊥A₁N．
在Rt△ACC₁中，sin∠AC₁C=

AC

AC1

=

3

( 3 )2+( 6 )2

=

3

3

．
在Rt△A₁C₁N中，cos∠A₁NC₁=

C1N

A1N

=

6 2

( 6 2 )2+( 3 )2

=

3

3

，
∴sin∠AC₁C=cos∠A₁NC₁．
∴∠AC1C+∠A1NC1=90°，∴AC₁⊥A₁N．
由（Ⅰ）可知：MN⊥側(cè)面AA₁C₁C，∴MN⊥AC₁．
又∵A₁N∩MN=N，∴AC₁⊥平面A₁MN，
∴AC₁⊥A₁M．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面、面面垂直的判定和性質(zhì)定理及三棱錐的等積變形是解題的關(guān)鍵．