對(duì)于函數(shù)f(x)=
13x+1+3
+a,a∈R

(1)探索函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性,并用單調(diào)性定義證明;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)?
分析:(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽,設(shè)x1<x2 ,計(jì)算 f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),可得f(x)在R上為減函數(shù).
(2)要使函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),則有f(0)=0,求得a的值.此時(shí),經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)有f(x)+f(-x)=0成立,可得結(jié)論.
解答:解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽 設(shè)x1<x2 ,∵f(x1)-f(x2)=
1
3x1+1+3
-
1
3x2+1+3
=
3x2+1-3x1+1
(3x1+1+3)(3x2+1+3)
>0,
∴f(x1)>f(x2),f(x)在R上為減函數(shù).
(2)要使函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),則有f(0)=0,∴a=-
1
6

此時(shí),f(x)=
1
3(3x+1)
-
1
6
,f(-x)=
3x
3(3x+1)
-
1
6
,∵f(x)+f(-x)=0,
∴a=-
1
6
時(shí),f(x)為奇函數(shù).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明,奇函數(shù)的定義和性質(zhì),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于函數(shù)f(x)=
x1+|x|
 (x∈R)
,下列判斷中,正確結(jié)論的序號(hào)是
①②
①②
(請(qǐng)寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)).
①f(-x)+f(x)=0;      
②當(dāng)m∈(0,1)時(shí),方程f(x)=m總有實(shí)數(shù)解;
③函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽;   
④函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,+∞).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于函數(shù)f(x)=1-2cos2(x+
π
4
)-
3
cos2x
,給出下列四個(gè)命題:
(1)函數(shù)在區(qū)間[
12
11π
12
]
上是減函數(shù);
(2)直線x=
π
6
是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸;
(3)函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)y=2sin2x的圖象向右平移
π
3
而得到;
(4)若 R,則f(x)=f(2-x),且的值域是[-
3
,2]

其中正確命題的個(gè)數(shù)是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于“函數(shù)f(x)=
1
-x2+2x+3
是否存在最值的問(wèn)題”,你認(rèn)為以下四種說(shuō)法中正確的是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

對(duì)于函數(shù)f(x)=1-2cos2(x+
π
4
)-
3
cos2x
,給出下列四個(gè)命題:
(1)函數(shù)在區(qū)間[
12
,
11π
12
]
上是減函數(shù);
(2)直線x=
π
6
是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸;
(3)函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)y=2sin2x的圖象向右平移
π
3
而得到;
(4)若 R,則f(x)=f(2-x),且的值域是[-
3
,2]

其中正確命題的個(gè)數(shù)是( 。
A.1B.2C.3D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

對(duì)于“函數(shù)f(x)=
1
-x2+2x+3
是否存在最值的問(wèn)題”,你認(rèn)為以下四種說(shuō)法中正確的是( 。
A.有最大值也有最小值B.無(wú)最大值也無(wú)最小值
C.有最大值而無(wú)最小值D.無(wú)最大值而有最小值

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