已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點F，點E（
a2
c
，0）（c為橢圓的半焦距）在x軸上，若橢圓的離心率e=
2
2
，且|EF|=1．
（1）求橢圓方程；
（2）若過F的直線交橢圓與A，B兩點，且
OA
+
OB
與向量
m
=（4，-
2
）共線（其中O為坐標原點），求證：
OA
•
OB
=0．
考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）首先，根據(jù)題意，得到離心率和|EF|=1建立等式，求解標準方程中的參數(shù)即可；
（2）首先，設出直線l的方程為：y=k（x-1），然后，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關系求證即可．
解答： 解：（1）依題意有：
c
a
=
2
2
a2
c
-c=1
a2=b2+c2
，
∴
a=
2
b=1
，
∴橢圓方程：
x2
2
+y2=1------（6分）
（2）設直線l的方程為：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立方程組
y=k(x-1)
x2+2y2=2
，整理得：
（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，
∴x1+x2=
4k2
1+2k2
，y1+y2=-
2k
1+2k2
，
∴
OA
+
OB
=(
4k2
1+2k2
，-
2k
1+2k2
)，
由
OA
+
OB
與向量
m
=（4，-
2
）共線，得k=
2
，
故
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2-k2（x1+x2）+k2=0．
∴
OA
•
OB
=0．--------（13分）
點評：本題重點考查了橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系等知識，屬于中檔題．解題關鍵是熟練運用橢圓的幾何性質(zhì)解題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設二次函數(shù)圖象為f（x）=x2+ax+a-2的圖象與x軸有兩個交點，且兩個交點之間距離為2
5
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

拋物線的頂點在原點，焦點在y軸正半軸上，拋物線上一點的橫坐標為2，且該點到焦點的距離為2．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）與圓x2+（y+1）2=1相切的直線l：y=kx+t交拋物線于不同的兩點M，N，若拋物線上一點C滿足
OC
=λ（
OM
+
ON
）（λ＞0），求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知球體的體積公式為V=
4
3
πr3，其中r為球的半徑．
（1）試將半徑r表示為體積V的函數(shù)；
（2）求氣球體積由V1=0cm3增加到V2=36πcm3時氣球的平均膨脹率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

拋物線的頂點在原點，它的準線過雙
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）曲線的一個焦點，并與雙曲線的實軸垂直，已知拋物線與雙曲線的交點為（
3
2
，
6
），求拋物線的方程和雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-
a
x
+
a
x2
（a∈R）．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若f（x）在[1，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于n∈N*，求證：
n
i=1
i
(i+1)2
＜ln（n+1）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù) f（x）=
1
3
x3-(2a+1)x2+3a（a+2）x+1，a∈R．
（1）當a=0時，求曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程；
（2）當a=-1時，求函數(shù)y=f（x）在[0，4]上的最大值和最小值；
（3）當函數(shù)y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零點時，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

雙曲線
y2
3
-x2=1的漸近線方程為（　�。�
A、y=±
3
B、y=±
3
x
C、y=±
3
3
D、y=±
3
3
x

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若x、y滿足不等式組
x-y+5≥0
x≤3
x+y-k≥0
時，恒有2x+4y≥-6，則k的取值范圍是
 
．

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