Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是等邊三角形，D為AB中點．
（I）求證：BC₁∥平面A₁CD；
（II）若四邊形BCC₁B₁是矩形，且CD⊥DA₁，求證：三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱．

Answer 1

解：（Ⅰ）連AC₁，設(shè)AC₁與A₁C相交于點O，連DO，則O為AC₁中點，
∵D為AB的中點，
∴DO∥BC₁
∵BC₁?平面A₁CD，DO?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）∵等邊△ABC，D為AB的中點，
∴CD⊥AB
∵CD⊥DA₁，DA₁∩AB=D，
∴CD⊥平面ABB₁A₁
∵BB₁?平面ABB₁A₁
∴BB₁⊥CD，
∵矩形BCC₁B₁
∴BB₁⊥BC
∵BC∩CD=C∴BB₁⊥平面ABC
∵底面△ABC是等邊三角形，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱．
分析：（I）連AC₁，設(shè)AC₁與A₁C相交于點O，先利用中位線定理證明DO∥BC₁，再利用線面平行的判定定理證明結(jié)論即可；
（II）要證明三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，只需證明側(cè)棱垂直于底面即可，先利用線面垂直的判定定理證明CD⊥平面ABB₁A₁，從而BB₁⊥CD，再利用同樣的定理證明BB₁⊥平面ABC即可
點評：本題主要考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理，棱柱的定義及其線面關(guān)系，屬基礎(chǔ)題