Question

13．已知函數(shù)$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}{（x+a）^2}$．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)x=0處的切線斜率為1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x≥0時，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)f'（x）=e^x-x-a，利用切線的斜率求解a，得到f'（x）=e^x-x，記g（x）=e^x-x，利用g（x）_min=g（0）=1＞0，推出f'（x）＞0恒成立，然后求解f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）利用f'（x）=e^x-x-a，令g（x）=e^x-x-a，求出g'（x）=e^x-1，當(dāng)x≥0時，g'（x）≥0，求出g（x）_min=g（0）=1-a．i）當(dāng)1-a≥0即a≤1時，求出f（x）在[0，+∞）上單增，求解最小值大于等于0．求出a的范圍．
ii）當(dāng)1-a＜0即a＞1時，g（x）在[0，+∞）上單增，且g（0）=1-a＜0，當(dāng)1＜a＜e²-2時，說明?x₀∈（0，ln（a+2））使g（x₀）=0，當(dāng)x∈（0，x₀）時，當(dāng)x∈（x₀，+∞）時，判斷單調(diào)性求解最值，記t（x）=e^x-x，x∈（0，ln2]，推出t（x）在（0，ln2]上單調(diào)遞增，然后求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）∵f'（x）=e^x-x-a，∴f'（0）=1-a=1，∴a=0，
∴f'（x）=e^x-x，記g（x）=e^x-x，∴g'（x）=e^x-1，
當(dāng)x＜0時，g'（x）＜0，g（x）單減；
當(dāng)x＞0時，g'（x）＞0，g（x）單增，
∴g（x）_min=g（0）=1＞0，
故f'（x）＞0恒成立，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增． …（4分）
（2）∵f'（x）=e^x-x-a，令g（x）=e^x-x-a，∴g'（x）=e^x-1，
當(dāng)x≥0時，g'（x）≥0，∴g（x）在[0，+∞）上單增，∴g（x）_min=g（0）=1-a．
i）當(dāng)1-a≥0即a≤1時，g（x）≥0恒成立，即f'（x）≥0，∴f（x）在[0，+∞）上單增，
∴$f{（x）_{min}}=f（0）=1-\frac{a^2}{2}≥0⇒-\sqrt{2}≤a≤\sqrt{2}$，所以$-\sqrt{2}≤a≤1$．
ii）當(dāng)1-a＜0即a＞1時，∵g（x）在[0，+∞）上單增，且g（0）=1-a＜0，
當(dāng)1＜a＜e²-2時，g（ln（a+2））=2-ln（a+2）＞0，
∴?x₀∈（0，ln（a+2））使g（x₀）=0，即${e^{x_0}}={x_0}+a$．
當(dāng)x∈（0，x₀）時，g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）單減；
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）單增．
∴$f{（x）_{min}}=f（{x_0}）={e^{x_0}}-\frac{1}{2}{（{x_0}+a）^2}={e^{x_0}}-\frac{1}{2}{e^{2{x_0}}}={e^{x_0}}（{1-\frac{1}{2}{e^{x_0}}}）≥0$，
∴${e^{x_0}}≤2⇒0＜{x_0}≤ln2$，由${e^{x_0}}={x_0}+a$，∴$a={e^{x_0}}-{x_0}$．
記t（x）=e^x-x，x∈（0，ln2]，
∴t'（x）=e^x-1＞0，∴t（x）在（0，ln2]上單調(diào)遞增，
∴t（x）≤t（ln2）=2-ln2，∴1＜a≤2-ln2．
綜上，$a∈[-\sqrt{2}，\;\;2-ln2]$．    …（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想構(gòu)造法以及多次導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的關(guān)系，難度大．