Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=log₂[（|x|-m）²-3（|x|-m）+2]（m＞-1）
（1）討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)m＞0時，求滿足f（x）＞f（1）的x集合（用區(qū)間表示）．

Answer 1

分析 （1）由對數(shù)函數(shù)的定義域可得（|x|-m-1）（|x|-m-2）＞0，運(yùn)用奇偶函數(shù)的單調(diào)性可得定義域；
（2）由當(dāng)x∈（2+m，+∞）時，f（t）=f（1），求得t=2m+2，由函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，即可得到解集．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=log₂[（|x|-m）²-3（|x|-m）+2]=log₂（|x|-m-1）（|x|-m-2）（m＞-1），
可得t=（|x|-m-1）（|x|-m-2）＞0，∴|x|＞m+2或|x|＜m+1，
∴x＞m+2或x＜-m-2 或-m-1＜x＜m+1．
當(dāng)0＜x＜m+1時，t為x的減函數(shù)，f（x）為（0，m+1）的減函數(shù)，
當(dāng)x＞m+2時，t為x的增函數(shù)，f（x）為（m+2，+∞）的增函數(shù)，
由偶函數(shù)的性質(zhì)可得，f（x）在（-∞，-m-2），（0，m+1）為減函數(shù)，
在（-m-1，0），（m+2，+∞）上為增函數(shù)；
（2）當(dāng)m＞0時，f（1）=log₂m（m+1），
當(dāng)x∈（2+m，+∞）時，f（t）=f（1），即有（t-m-1）（t-m-2）=m（m+1），
解得t=2m+2，
由f（x）在（0，m+1）遞減，（m+2，+∞）遞增，
f（x）＞f（1），可得x∈（0，1）或x∈（2m+2，+∞），
由f（x）為偶函數(shù)，f（x）＞f（1）可得x∈（-1，0）或x∈（-∞，-2m-2），
綜上可得，滿足f（x）＞f（1）的x集合為
（-∞，-2m-2）∪（-1，0）∪（0，1）∪（2m+2，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用：討論定義域和解不等式，主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和不等式的解法，屬于中檔題．