Question

13．（1）已知集合A={k|方程x²+（2k-1）x+k²=0至少有一個不大于1的實根}，求集合B={k|k∈A且k∈Z}的所有子集；
（2）設(shè)集合P={x|$\frac{5{x}^{2}+10x+2}{3{x}^{2}+13x+4}$≥1}，Q={x|x²-2x-a⁴+1≥0}，且P⊆Q，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）集合A的限制條件，可結(jié)合函數(shù)f（x）=x²+（2k-1）x+k²的圖象即可得出集合A=（-2，$\frac{1}{4}$]，而由條件k∈A，且k∈Z即可求出集合B的所有元素，從而得出集合B，然后找出其所有子集即可；
（2）先通過解不等式可得到P={x|$x＜-4，或-\frac{1}{2}≤x＜-\frac{1}{3}，或x≥2$}，可求函數(shù)g（x）=x²-2x-a⁴+1的對稱軸為x=1，并求出△=4a⁴，從而可分a=0和a≠0進行求a的范圍：a≠0時，便有$g（-\frac{1}{3}）≥0$，而可看出a=0時滿足條件，這樣即可得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）方程x²+（2k-1）x+k²=0至少有一個不大于1的實根，設(shè)f（x）=x²+（2k-1）x+k²，則：
$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4k≥0}\\{-\frac{2k-1}{2}≤1}\\{f（1）=2k+{k}^{2}≥0}\end{array}\right.$，或f（1）=2k+k²＜0；
解得$-2≤k≤\frac{1}{4}$；
∴A=$（-2，\frac{1}{4}]$；
∵k∈A，且k∈Z；
∴k=-2，-1，0；
∴B={-2，-1，0}；
∴集合B的所有子集為：∅，{-1}，{0}，{-2}，{-1，0}，{-2，0}，{-2，-1}，{-2，-1，0}；
（2）由$\frac{5{x}^{2}+10x+2}{3{x}^{2}+13x+4}≥1$得$\frac{2{x}^{2}-3x-2}{3{x}^{2}+13x+4}≥0$；
解得x＜-4，或$-\frac{1}{2}≤x＜-\frac{1}{3}$，或x≥2；
∵P⊆Q，函數(shù)g（x）=x²-2x-a⁴+1的對稱軸為x=1，且△=4-4（-a⁴+1）=4a⁴≥0；
∴①當(dāng)a≠0時，△＞0；
∴需滿足$g（-\frac{1}{3}）=\frac{16}{9}-{a}^{4}≥0$，且g（2）=-a⁴+1≥0；
解得，-1≤a≤1；
②a=0時，△=0，Q=R，滿足P⊆Q；
∴綜上得實數(shù)a的取值范圍為：[-1，1]．

點評 考查描述法表示集合，元素與集合的關(guān)系，子集的概念，以及解分式不等式，及一元二次不等式，二次函數(shù)圖象和x軸交點的情況和判別式△取值的關(guān)系，要熟悉二次函數(shù)的圖象，并結(jié)合二次函數(shù)的圖象解題的能力．