Question

已知常數(shù)a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且

BE

BC

=

CF

CD

=

DG

DA

，P為GE與OF的交點(diǎn)（如圖），問是否存在兩個定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：建立坐標(biāo)系，按題意寫出A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)

BE

BC

=

CF

CD

=

DG

DA

解出E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的坐標(biāo) 參數(shù)表示，求出OF與GE兩條直線的方程，兩者聯(lián)立即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足的參數(shù)方程，消去參數(shù)，得到點(diǎn)P的軌跡方程．由于參數(shù)a的取值范圍影響曲線的形狀故按參數(shù)a的范圍來對曲線進(jìn)行分類．

解答：解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，
據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到定點(diǎn)距離的和為定值．
按題意有A（-2，0），B（2，0），C（2，4a），D（-2，4a）
設(shè)

BE

BC

=

CF

CD

=

DG

DA

=k（0≤k≤1），
由此有E（2，4ak），F(xiàn)（2-4k，4a），G（-2，4a-4ak）．
直線OF的方程為：2ax+（2k-1）y=0，①
直線GE的方程為：-a（2k-1）x+y-2a=0． ②
從①，②消去參數(shù)k，
得點(diǎn)P（x，y）坐標(biāo)滿足方程2a²x²+y²-2ay=0，
整理得

x2

1 2

+

(y-a)2

a2

=1．
當(dāng)a2=

1

2

時，點(diǎn)P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn)；
當(dāng)a2≠

1

2

時，點(diǎn)P軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長；
當(dāng)a2＜

1

2

時，點(diǎn)P到橢圓兩個焦點(diǎn)(-

1 2 -a2

，a)，(

1 2 -a2

，a)的距離之和為定值

2

；
當(dāng)a2＞

1

2

時，點(diǎn)P到橢圓兩個焦點(diǎn)(0，a-

a2- 1 2

)，(0，a+

a2- 1 2

)的距離之和為定值2a．

點(diǎn)評：考查解析法求點(diǎn)的軌跡方程，本題在做題時引入了參數(shù)k，故得到的軌跡方程為參數(shù)方程，需要消去參數(shù)得到軌跡方程，又當(dāng)字母的取值范圍對曲線的形狀有影響時，要對其范圍進(jìn)行討論以確定軌跡的具體性狀．考查分類討論的數(shù)學(xué)思想．