[理]已知函數(shù)f(x)=ax-
b
x
-2lnx,f(1)=0.
(1)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線的斜率為0,且an+1=f′(
1
an-n+1
)-n2+1,已知a1=4,求證:an≥2n+2.
分析:(1)先由f(1)=0得出a,b的關系式,再求出f(x)的導數(shù),根據(jù)f′(x)>0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間,f′(x)<0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間,根據(jù)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)得到:在(0,+∞)內(nèi)f′(x)恒大于等于0或恒小于等于0.最后對a分類討論即可求出a的取值范圍.
(2)先由題意求得f′(
1
an-n+1
).對于關于自然數(shù)n的命題:an+1=f′(
1
an-n+1
)-n2+1,常用數(shù)學歸納法證明,
解答:解:(1)因為f(1)=a-b=0,所以a=b,
所以f(x)=ax-
a
x
-2lnx,
所以f′(x)=a+
a
x2
-
2
x

要使函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)為單調(diào)函數(shù),
則在(0,+∞)內(nèi)f′(x)恒大于等于0或恒小于等于0.
當a=0時,則f′(x)=-
2
x
<0在(0,+∞)內(nèi)恒成立;適合題意.
當a>0時,要使f′(x)=a(
1
x
-
1
a
2+a-
1
a
≥0恒成立,則a-
1
a
≥0,解得a≥1;
當a<0時,由f′(x)=a+
a
x2
-
2
x
<0恒成立,適合題意.
所以a的取值范圍為(-∞,0]∪[1,+∞).
(2)根據(jù)題意得:f′(1)=0,即a+a-2=0,得a=1,
所以f′(x)=(
1
x
-1)2,
于是an+1=f′(
1
an-n+1
)-n2+1=(an-n)2-n2+1
=an2-2nan+1.
用數(shù)學歸納法證明如下:
當n=1時,a1=4=2×1+2,
當n=2時,a2=9>2×2+2;
假設當n=k(k≥2且k∈N*)時,不等式ak>2k+2成立,即ak-2k>2成立,
則當n=k+1時,ak+1=ak(ak-2k)+1>(2k+2)×2+1=4k+5>2(k+1)+2,
所以當n=k+1,不等式也成立,
綜上得對所有n∈N*時,都有an≥2n+2.
點評:本小題主要考查用數(shù)學歸納法證明不等式、函數(shù)單調(diào)性的應用、導數(shù)的應用等基礎知識,考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎題.數(shù)學歸納法的基本形式:設P(n)是關于自然數(shù)n的命題,若:1°P(n0)成立(奠基);2°假設P(k)成立(k≥n0),可以推出P(k+1)成立(歸納),則P(n)對一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立.
練習冊系列答案
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12
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1
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12
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