Question

對于二項(xiàng)式（1-x）¹⁰，求：
（1）求展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和；
（2）展開式的中間項(xiàng)是第幾項(xiàng)？寫出這一項(xiàng)；
（3）求展開式中除常數(shù)項(xiàng)外，其余各項(xiàng)的系數(shù)和．

Answer 1

（1）對于二項(xiàng)式（1-x）¹⁰，展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和為

C

010

+

C

110

+

C

210

+…+

C

1010

=2¹⁰=1024．
（2）此展開式共有11項(xiàng)，它的中間項(xiàng)是第6項(xiàng)，為 T₆=

C

510

•（-x）⁵=-252x⁵．
（3）設(shè)二項(xiàng)式（1-x）¹⁰ =a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，
令x=1，可得 a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=0，
令x=0，可得a₀=1，∴a₁+a₂+…+a₁₀=-1，即 展開式中除常數(shù)項(xiàng)外，其余各項(xiàng)的系數(shù)和為-1．