Question

【題目】將數列的前n項和分成兩部分，且兩部分的項數分別是i，，若兩部分的和相等，則稱數列的前n項和能夠進行等和分割．

若，，試寫出數列的前4項和的所有等和分割；

求證：等差數列的前項和能夠進行等和分割；

若數列的通項公式為：，且數列的前n項和能進行等和分割，求所有滿足條件的n．

Answer 1

【答案】（1），或（2）證明見解析（3）或，

【解析】

)利用通項公式求出前4項的值，利用定義進行分割即可．

由等差數列的性質知，，即可證明.

由前n項和能分出兩部分，兩部分的和相等可知，數列的前n項和為偶數，可得或進一步利用分類討論思想，結合（2）的結論即可求解．

解：由數列，，

得，，，，

則數列的前4項和的所有等和分割為，或．

因為數列為等差數列，

所以．

將上述2k個兩式子分成兩部分，則和相等．

所以等差數列的前4k項和能進行等和分割；

因為數列的通項公式為：，且數列的前n項和能進行等和分割，

所以數列的前n項和為偶數，

所以或．

當時，由得知，數列可以進行等和分割．

當時，首先考慮，

則分割成兩部分，．

故，即時，前3項能進行等和分割．

當時，前項為：1，2，3，，，，，，，

由得知：，，，，，，能分成等和的兩部分，

分別把兩部分，進行加入，則兩部分和相等．