在四棱錐中,平面,底面為矩形,.

(Ⅰ)當時,求證:;

(Ⅱ)若邊上有且只有一個點,使得,求此時二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質定理得到。當a=1時,底面ABCD為正方形,

又因為,………………2分

,得證。

第二問,建立空間直角坐標系,則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

設BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》

要使,只要

所以,即………6分

由此可知時,存在點Q使得

當且僅當m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點Q,使得

由此知道a=2,  設平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

解:(Ⅰ)當時,底面ABCD為正方形,

又因為,………………3分

(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直,分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標系,如圖所示,

則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

設BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要

所以,即………6分

由此可知時,存在點Q使得

當且僅當m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點Q,使得由此知道a=2,

設平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

 

【答案】

 (Ⅰ)見解析      (Ⅱ)

 

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在四棱錐中,平面,底面為矩形,.

 (I)當時,求證:

   (II)若邊上有且只有一個點,使得,求此時二面角的余弦值.

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如圖,在四棱錐中,平面,底面是菱形,.
 
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如圖,在四棱錐中,平面,底面是菱形,,

(Ⅰ)求證:

(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.

 

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(1)求證:平面平面

(2)若,求二面角的大小。

 

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