Question

已知函數(shù)f(x)=log3

x+2

ax+2

是奇函數(shù)，且f（x）不恒為0．
（1）求a的值；
（2）若不等式f（1+m）+f（1+2m）＜0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得log₃

-x+2

-ax+2

+log₃

x+2

ax+2

=0，從而可得

-x+2

-ax+2

•

x+2

ax+2

=1，從而解出a；
（2）由題意可知f（x）在（-2，2）上為增函數(shù)，結(jié)合是奇函數(shù)化不等式為

1+m＜-2m-1 -2＜m+1＜2 -2＜2m+1＜2

，從而解得．

解答： 解：（1）∵f（-x）+f（x）=0，
∴l(xiāng)og₃

-x+2

-ax+2

+log₃

x+2

ax+2

=0，
∴

-x+2

-ax+2

•

x+2

ax+2

=1，
∴a²=1，
又∵f（x）不恒為0，
∴a=-1；
（2）∵f（x）=log₃

x+2

-x+2

，
∴

x+2

-x+2

＞0，
∴-2＜x＜2，
又∵

x+2

-x+2

=-1-

4

x-2

，
∴f（x）在（-2，2）上為增函數(shù)，
又∵f（x）是奇函數(shù)，
∴不等式f（1+m）+f（1+2m）＜0等價(jià)于

1+m＜-2m-1 -2＜m+1＜2 -2＜2m+1＜2

解得，-

3

2

＜m＜-

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．