Question

11．已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，且a²+b²=1，c²+d²=4，
求證：|ac+bd|≤2．

Answer 1

分析 方法一、運(yùn)用分析法證明，可通過兩邊平方，完全平方公式即可得證；
方法二、運(yùn)用作差比較法，結(jié)婚條件和配方即可得證；
方法三、運(yùn)用三角換元法，可令a=cosα，b=sinα，c=2cosβ，d=2sinβ（α，β∈R），運(yùn)用兩角差的余弦公式，以及余弦函數(shù)的值域即可得證．

解答 證法一：要證|ac+bd|≤2成立，
只要證（ac+bd）²≤4即可，
只需證（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）即可，
即證2acbd≤a²d²+b²c²，
即證（ad-bc）²≥0，
由題知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，（ad-bc）²≥0顯然成立．
故|ac+bd|≤2．
證法二：（ac+bd）²-4=（ac+bd）²-（a²+b²）（c²+d²）
=2acbd-a²d²-b²c²=-（ad-bc）²，
由題知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，（ad-bc）²≥0，
即ac+bd）²-4≤0，
故|ac+bd|≤2．
證法三：設(shè)a=cosα，b=sinα，c=2cosβ，d=2sinβ（α，β∈R），
則|ac+bd|=|2cosαcosβ+2sinαsinβ|
=2|cosαcosβ+sinαsinβ|=2|cos（α-β）|≤2，
故|ac+bd|≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用分析法和作差比較法，以及三角換元法，考查推理能力，屬于中檔題．