Question

已知常數(shù)a＞0，函數(shù)f(x)=

x3+ 3a4 x ，|x|≥ a 2 49 4 a2x，|x|＜ a 2

（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若0＜a≤2，求f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值g（a）；
（3）是否存在常數(shù)t，使對(duì)于任意x∈(

a

2

，2t-

a

2

)(t＞

a

2

)時(shí)，f（x）f（2t-x）+f²（t）≥[f（x）+f（2t-x）]f（t）恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）分段確定函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)的通項(xiàng)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最小值；
（3）由f（x）f（2t-x）+f²（t）≥[f（x）+f（2t-x）]f（t），可得[f（t）-f（x）][f（t）-f（2t-x）]≥0，從而可得t為極小值點(diǎn)，或t為極大值點(diǎn)，根據(jù)x∈(

a

2

，2t-

a

2

)，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)|x|＜

a

2

時(shí)，f(x)=

49

4

a2x為增函數(shù)． …（1分）
當(dāng)|x|≥

a

2

時(shí)，f'（x）=3x²-

3a4

x2

．
令f'（x）＞0，得x＞a或x＜-a．…（3分）
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，-a），(-

a

2

，

a

2

)和（a，+∞）．…（4分）
（2）函數(shù)的圖象如圖，由圖可知，

①當(dāng)1＜a＜2時(shí)，

a

2

＜1＜a，f（x）在區(qū)間[1，a]上遞減，在[a，2]上遞增，最小值為f（a）=4a³；…（6分）
②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]為增函數(shù)，最小值為f（1）=1+3a⁴；…（8分）
③當(dāng)a=2時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]為減函數(shù)，最小值為f（a）=4a³； …（9分）
綜上，f（x）最小值g(a)=

1+3a4，0＜a≤1 4a3，1＜a≤2

．  …（10分）
（3）由f（x）f（2t-x）+f²（t）≥[f（x）+f（2t-x）]f（t），
可得[f（t）-f（x）][f（t）-f（2t-x）]≥0，…（12分）
即

f(t)≤f(x) f(t)≤f(2t-x)

或

f(t)≥f(x) f(t)≥f(2t-x)

成立，所以t為極小值點(diǎn)，或t為極大值點(diǎn)．
又x∈(

a

2

，2t-

a

2

)時(shí)，f（x）沒有極大值，所以t為極小值點(diǎn)，即t=a…（16分）
（若只給出t=a，不說明理由，得1分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確理解題意是關(guān)鍵．