Question

18．已知α∈（$\frac{π}{6}$，π），$\overrightarrow{a}$=（sin（2α+β），sinβ），$\overrightarrow$=（3，1），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，設(shè)tanα=x，tanβ=y，記y=f（x），當(dāng)f（x）=$\frac{1}{3}$時(shí)，α=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，得出sin（2α+β）-3sinβ=0，用拆項(xiàng)法化簡得出sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，
弦化切得出tan（α+β）=2tanα，再利用兩角和的正切公式，結(jié)合tanα=x，tanβ=y，得出x與y的關(guān)系式，利用f（x）=$\frac{1}{3}$求出對(duì)應(yīng)x的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（sin（2α+β），sinβ），$\overrightarrow$=（3，1），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，
∴sin（2α+β）-3sinβ=0，
即sin[（α+β）+α]=3sin[（α+β）-α]；
∴sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα，
化簡得sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，
即tan（α+β）=2tanα，
∴$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=2tanα；
又tanα=x，tanβ=y，
∴$\frac{x+y}{1-xy}$=2x，
解得y=f（x）=$\frac{x}{1+2x}$；
令f（x）=$\frac{1}{3}$，即$\frac{x}{1+2x}$=$\frac{1}{3}$，
解得x=1或x=$\frac{1}{2}$，
∴tanα=1或tanα=$\frac{1}{2}$；
又∵α∈（$\frac{π}{6}$，π），
∴tanα=1，
∴α=$\frac{π}{4}$．
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了三角恒等變換的應(yīng)用問題，是綜合性題目．