Question

4．已知點P（x，y）在圓x²+y²-6x-6y+14=0上
（1）求$\frac{y}{x}$的最大值和最小值；
（2）求x²+y²+2x+3的最大值與最小值；
（3）求x+y的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）求得已知圓的圓心和半徑，設k=$\frac{y}{x}$，即kx-y=0，則圓心到直線的距離d≤r，加上即可得到最值；
（2）x²+y²+2x+3=（x+1）²+y²+2表示點（x，y）與A（-1，0）的距離的平方加上2，連接AC，交圓C于B，延長AC，交圓于D，可得AB最短，AD最長，加上即可得到所求最值；
（3）化簡可得（x-3）²+（y-3）²=4，從而令x-3=2cosa，y-3=2sina，從而利用三角函數求最值．

解答 解：如圖示：
，
（1）圓x²+y²-6x-6y+14=0即為（x-3）²+（y-3）²=4，
可得圓心為C（3，3），半徑為r=2，
設k=$\frac{y}{x}$，即kx-y=0，
則圓心到直線的距離d≤r，
即 $\frac{|3k-3|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$≤2，
平方得5k²-18k+5≤0，
解得：$\frac{9-2\sqrt{14}}{5}$≤k≤$\frac{9+2\sqrt{14}}{5}$，
故$\frac{y}{x}$的最大值是$\frac{9+2\sqrt{14}}{5}$，最小值為$\frac{9-2\sqrt{14}}{5}$；
（2）x²+y²+2x+3=（x+1）²+y²+2
表示點（x，y）與A（-1，0）的距離的平方加上2，
連接AC，交圓C于B，延長AC，交圓于D，
可得AB為最短，且為|AC|-r=$\sqrt{16+9}$-2=3，
AD為最長，且為|AC|+r=5+2=7，
則x²+y²+2x+3 的最大值為7²+2=51，
x²+y²+2x+3的最小值為3²+2=11；
（3）圓x²+y²-6x-6y+14=0即為（x-3）²+（y-3）²=4，
令x-3=2cosa，y-3=2sina，
則x+y=6+2（cosa+sina）=6+2$\sqrt{2}$sin（a+$\frac{π}{4}$），
∵-1≤sin（a+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴6-2$\sqrt{2}$≤6+2$\sqrt{2}$sin（a+$\frac{π}{4}$）≤6+2$\sqrt{2}$，
∴x+y的最大值為6+2$\sqrt{2}$，最小值為6-2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查直線和圓的方程的應用，根據圓心到直線的距離和半徑之間的關系以及連接圓外一點與圓心的直線與圓的交點，取得最值是解決本題的關鍵．