Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a•{2}^{x}-2}{{2}^{x}+1}$（a∈R），給出下列命題：
①f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)；②?a∈R，使f（x）是奇函數(shù)；  ③?a∈R，使f（x）是偶函數(shù)；
④a=1時，$\sum_{k=-2016}^{2016}{f（k）}$=f（-2016）+f（-2015）+…+f（2016）為定值-1008．
以上命題中，真命題的是②（請?zhí)畛鏊�有真命題序號）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍判斷①，根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷②③，根據(jù)f（-x）+f（x）=-1，求出結(jié)論即可．

解答 解：①∵f（x）=$\frac{a•{2}^{x}-2}{{2}^{x}+1}$，
∴f′（x）=$\frac{{2}^{x}ln2（a+2）}{{{（2}^{x}+1）}^{2}}$，
a+2＞0即a＞-2時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
a+2=0即a=-2時，f（x）=-2，是常函數(shù)，
a+2＜0即a＜-2時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
故①錯誤；
②f（-x）=$\frac{{a2}^{-x}-2}{{2}^{-x}+1}$=-$\frac{2{•2}^{x}-a}{{2}^{x}+1}$，
故a=2時，f（-x）=-f（x），是奇函數(shù)，
故②正確，③錯誤，
④a=1時，f（x）=$\frac{{2}^{x}-2}{{2}^{x}+1}$，
∴f（x）+f（-x）=-1，
∴$\sum_{k=-2016}^{2016}{f（k）}$=f（-2016）+f（-2015）+…+f（2016）=-2016，
故④錯誤，
故答案為：②．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查函數(shù)的奇偶性問題，是一道中檔題．