定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=
A
2
n
則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”,已知數(shù)列{an}中,a1=2,點(diǎn){an,an+1}在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖象上,其中n的正整數(shù).
(1)證明數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lg(2an+1)}為等比數(shù)列;
(2)設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項(xiàng)之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)及Tn關(guān)于n的表達(dá)式;
(3)記bn=log2an+1Tn,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn,并求使Sn>2008的n的最小值.
分析:(Ⅰ)由an+1=2an2+2an,an>0,知2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2,所以{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”.由lg(2an+1+1)=2lg(2an+1),且2an+1>1,知lg(1+2an)>0,由此能夠證明{lg(2an+1)}為等比數(shù)列.
(Ⅱ)由lg(2a1+1)=lg5,知lg(2an+1)=lg5•2n-1,所以an=
1
2
(52n-1-1)
,由lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)=
lg5•(1-2n)
1-2
=(2n-1)lg5
,能求出Tn
(Ⅲ)由bn=
lgTn
lg(2an+1)
=
(2n-1)lg5
2n-1lg5
=
2n-1
2n-1
=2-(
1
2
)n-1
,知Sn=2n-[1+
1
2
+(
1
2
)2+…+(
1
2
)n-1]=2n-
1-(
1
2
)
n
1-
1
2
=2n-2[1-(
1
2
)n]
=2n-2+2(
1
2
)n
由此能求出n的最小值.
解答:證明:(Ⅰ)由條件得:an+1=2an2+2an,an>0.
∴2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2,
∴{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”.
由lg(2an+1+1)=2lg(2an+1),
且2an+1>1,
∴l(xiāng)g(1+2an)>0,
lg(2an+1+1)
lg(2an+1)
=2
,
∴{lg(2an+1)}為等比數(shù)列.…(3分)
解:(Ⅱ)∵lg(2a1+1)=lg5,
∴l(xiāng)g(2an+1)=lg5•2n-1,
2an+1=52n-1
an=
1
2
(52n-1-1)
…(5分)
∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1),
=
lg5•(1-2n)
1-2
=(2n-1)lg5
,
Tn=52n-1…(7分)
(Ⅲ)bn=
lgTn
lg(2an+1)
=
(2n-1)lg5
2n-1lg5
=
2n-1
2n-1
=2-(
1
2
)n-1
,
Sn=2n-[1+
1
2
+(
1
2
)2+…+(
1
2
)n-1]=2n-
1-(
1
2
)
n
1-
1
2

=2n-2[1-(
1
2
)n]

=2n-2+2(
1
2
)n
.…(10分)
由Sn>2008,得2n-2+2(
1
2
)
n
>2008,n+(
1
2
n>1005,
當(dāng)n≤1004時(shí),n+(
1
2
n<1005,當(dāng)n≥1005時(shí),n+(
1
2
n>1005,
∴n的最小值為1005.…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項(xiàng),結(jié)合含兩個(gè)變量的不等式的處理問題,考查對新定義的理解能力.本題將數(shù)列放到新情境中,關(guān)鍵是正確理解題意,挖掘問題的本質(zhì)與隱含.
練習(xí)冊系列答案
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定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=An2,則稱數(shù)列{An}為“平方數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,a1=2,點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖象上,其中n為正整數(shù).
(1)證明:數(shù)列{2an+1}是“平方數(shù)列”,且數(shù)列{lg(2an+1)}為等比數(shù)列.
(2)設(shè)(1)中“平方數(shù)列”的前n項(xiàng)之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)及Tn關(guān)于n的表達(dá)式.
(3)記bn=log2an+1Tn,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之和Sn,并求使Sn>4020的n的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•石景山區(qū)一模)定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=An2,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,a1=2,點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖象上,其中n為正整數(shù).
(1)證明:數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lg(2an+1)}為等比數(shù)列.
(2)設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項(xiàng)之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)及Tn關(guān)于n的表達(dá)式.
(3)記bn=log2an+1Tn,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之和Sn,并求使Sn>2011的n的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義:若數(shù)列{an}對任意的正整數(shù)n,都有|an+1|+|an|=d(d為常數(shù)),則稱{an}為“絕對和數(shù)列”,d叫做“絕對公和”,已知“絕對和數(shù)列”{an}中,a1=2,“絕對公和”d=2,則其前2012項(xiàng)和S2012的最小值為( 。

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(2007•長寧區(qū)一模)定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=An2,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,a1=2,點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+4x+2的圖象上,其中n為正整數(shù).
(1)判斷數(shù)列{an+2}是否為“平方遞推數(shù)列”?說明理由.
(2)證明數(shù)列{lg(an+2)}為等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng).
(3)設(shè)Tn=(2+a1)(2+a2)…(2+an),求Tn關(guān)于n的表達(dá)式.

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