Question

已知函數(shù)f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

（1）若對(duì)于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若f（x）的最小值為-3，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若對(duì)于任意的x₁、x₂、x₃，均存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

（1）設(shè)t=2^x，則y=

t2+kt+1

t2+t+1

（t＞0），
∵y＞0恒成立，∴t＞0時(shí)，t²+kt+1＞0恒成立，
即t＞0時(shí)，k＞-（t+

1

t

）恒成立，
∵t＞0時(shí)，t+

1

t

≥2，∴-（t+

1

t

）≤-2，
當(dāng)t=

1

t

，即t=1時(shí)，-（t+

1

t

）有最大值為-2，
∴k＞-2；
（2）f（x）=

4x+2x+1+(k-1)2x

4x+2x+1

=1+

k-1

2x+ 1 2x +1

，
令t=2^x+

1

2x

+1≥3，則y=1+

k-1

t

（t≥3），
當(dāng)k-1＞0，即k＞1時(shí)，y∈（1，

k+2

3

]，無最小值，舍去；
當(dāng)k-1=0，即k=1時(shí)，y∈{1}，最小值不是-3，舍去；
當(dāng)k-1＜0，即k＜1時(shí)，y∈[

k+2

3

，1），
最小值為

k+2

3

=-3得k=-11；
綜上k=-11．
（3）因?qū)θ我鈱?shí)數(shù)x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形，故f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）對(duì)任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立．
當(dāng)k＞1時(shí)，∵2＜f（x₁）+f（x₂）≤

2k+4

3

且1＜f（x₃）≤

k+2

3

，故

k+2

3

≤2，∴1＜k≤4；
當(dāng)k=1時(shí)，∵f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，滿足條件；
當(dāng)k＜1時(shí)，∵

2k+4

3

≤f（x₁）+f（x₂）＜2，且

k+2

3

≤f（x₃）＜1，故

2k+4

3

≥1，∴-

1

2

≤k＜1；
綜上所述：-

1

2

≤k≤4．