Question

在雙曲線

x2

13

-

y2

12

=-1一支上有不同三點(diǎn)A(x1，y1)，B(

26

，6)，C(x2，y2)與焦點(diǎn)F（0，5）的距離成等差數(shù)列．
（1）求y₁+y₂的值；
（2）求證：線段AC的中垂線恒過(guò)一定點(diǎn)，并求該點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由雙曲線的焦半徑公式可知|AF|=ey₁-2

3

，|BF|=6e-2

3

，|CF|=ey₂-2

3

，再由|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，可求出y₁+y₂的值；
（2）借助點(diǎn)差法求出AC的垂直平分線方程為y-6=-

13

x1+x2

（x-

x1+x2

2

），由此可以得到不論

13

x1+x2

取何值，都有該直線過(guò)點(diǎn)（0，

25

2

）．

解答： 解：（1）∵雙曲線

x2

13

-

y2

12

=-1，
∴雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：

y2

12

-

x2

13

=1，
由題設(shè)知，A、B、C在雙曲線的同一支上，且y₁，y₂均大于0，
∴由雙曲線的焦半徑公式可知|AF|=ey₁-2

3

，|BF|=6e-2

3

，|CF|=ey₂-2

3

，
|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，
∴6e=

ey1+ey2

2

，
∴y₁+y₂=12，
（2）∵點(diǎn)A、C在雙曲線上，
∴設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），點(diǎn)B（x₂，y₂），則
13y₁²-12x₁²=156，①
13y₂²-12x₂²=156，②，
①-②得
k_AB=

12

13

•

x1+x2

y1+y2

=

x1+x2

13

，
∴直線AC的垂直平分線的方程為：y-6=-

13

x1+x2

（x-

x1+x2

2

），
∴y=-

13x

x1+x2

+

25

2

，
∴不論

13

x1+x2

取何值，都有該直線過(guò)點(diǎn)（0，

25

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了雙曲線的概念、幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．