(本小題滿分12分)
已知等比數列{an}的各項均為正數,且 2a1 +3a2 =1, =9a2a6.
(Ⅰ) 求數列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設 bn=log3a1 +log3a2 +…+ log3an,求的前n項和Tn;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求使 ≥ (7? 2n)Tn恒成立的實數k 的取值范圍.
(Ⅰ).(Ⅱ)前n 項和為?.(Ⅲ)
解析試題分析:(1)根據2a1 +3a2 =1, =9a2a6.可建立關于a1和q的方程求出a1和q的值,從而得到{an}的通項公式.
(2)再(1)的基礎上根據對數的運算性質可得,因而可得 =?2,顯然采用疊加求和的方法求和.
(3)可令,采用作差法求的最大值,從而求出k的范圍.
(Ⅰ)設數列的公比為(q>0),
由 得,.
故數列的通項公式為.
(Ⅱ )bn =log3a1 +log3a2 +…+ log3an =?
故 =?2
Tn = + + +…+
= ?2 =?
所以數列 的前n 項和為?.
(Ⅲ )化簡得對任意恒成立
設,則
當為單調遞減數列,
為單調遞增數列,
所以,n=5時,取得最大值為.
所以, 要使對任意恒成立,
考點:考查了等比數列的通項、數列求和、不等式恒成立等知識.
點評:掌握等差等比數列的通項及性質以及常用數列求和的方法是求解此類問題的關鍵.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
設集合W是滿足下列兩個條件的無窮數列{an}的集合:①, ②.其中,是與無關的常數.
(Ⅰ)若{}是等差數列,是其前項的和,,,證明:;
(Ⅱ)設數列{}的通項為,且,求的取值范圍;
(Ⅲ)設數列{}的各項均為正整數,且.證明.
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