求半徑為R的球的內(nèi)接正三棱錐的最大體積．

答案：
解析：

解 如圖，S－ABC是球O的內(nèi)接正三棱錐，它的高=h，SO=AO=BO=CO=R．

∵為正三角形ABC的中心，

∴．

在Rt△中，，

當(dāng)4R－2h=h，即h=R時(shí)，球O的內(nèi)接正三棱錐的體積最大，這一最大體積為．

應(yīng)當(dāng)注意，這時(shí)，O是的一個四等分點(diǎn)．易知這時(shí)SA=AB，即S－ABC是正四面體，球心O是這個正四面體的中心，正四面體的中心是高的一個四等分點(diǎn)．把這個結(jié)論與正三角形的中心是高的一個三等分點(diǎn)聯(lián)系一下，就會發(fā)現(xiàn)其中的類似之處．


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