Question

△ABC中，邊BC長(zhǎng)為a，頂點(diǎn)A在移動(dòng)過(guò)程中分別滿足下列條件之一．
（1）sinC-sinB=sinA；
（2）bcosB=ccosC，求A點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：對(duì)于（1）由正弦理，等式兩邊同乘以2R，可得c-b=a＜a，由定義知此種情況下頂點(diǎn)A的軌跡是雙曲線的一支；
對(duì)于（2）b cosB=c cosC，分析知，頂點(diǎn)A在BC的垂直平分線上，即其軌跡為線段的垂直平分線．
解答：解：（1）等式兩邊同乘以2R，
得2RsinC-2RsinB=2RsinA，即c-b=a，
由雙曲線的定義知，點(diǎn)A的軌跡是雙曲線．
建立如圖所示的坐標(biāo)系．
則點(diǎn)C（-a，0），點(diǎn)B（a，0）設(shè)A（x，y）
|AC|-|AB|=a，即雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，
虛半軸長(zhǎng)的平方為
故點(diǎn)A的軌跡方程為=1
（2）由題意，bcosB=ccosC，可得sinBcosB=sinCcosC，
即sin2B=sin2C，
所以2B=2C或2B+2C=π，即B=C或B+C=
則點(diǎn)A的軌跡方程是x=0或以BC為直徑的圓，
故所求的軌跡方程為x=0或
點(diǎn)評(píng)：考查正弦定理，雙曲線的定義，垂直平分線的定義．知識(shí)性較強(qiáng)．