Question

17．已知數(shù)列{a_n}，滿足a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}}}{{2{a_n}+3}}$，n∈N^*．
（Ⅰ）求證：數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$為等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)${T_{2n}}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}-\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+\frac{1}{{{a_3}{a_4}}}-\frac{1}{{{a_4}{a_5}}}+…+\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n}}}}-\frac{1}{{{a_{2n}}{a_{2n+1}}}}$，求T_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）方法一：根據(jù)數(shù)列的遞推公式得到$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+3}{3{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{2}{3}$，即可得到$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$，問題得以解決，
方法二：根據(jù)數(shù)列的遞推公式得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n}+3}{3{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=（$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{2}{3}$）-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$，問題得以解決，
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n}}$-$\frac{1}{{a}_{2n}{a}_{2n+1}}$=（$\frac{1}{{a}_{2n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$）$\frac{1}{{a}_{2n}}$，得到{b_n}是首項b₁=-$\frac{20}{9}$，公差為-$\frac{16}{9}$的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計算即可．

解答 證明（Ⅰ）：法一：由${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}}}{{2{a_n}+3}}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+3}{3{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為1，公差為$\frac{2}{3}$的等差數(shù)列，
法二：由${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}}}{{2{a_n}+3}}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n}+3}{3{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=（$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{2}{3}$）-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為1，公差為$\frac{2}{3}$的等差數(shù)列，
（Ⅱ）解：設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n}}$-$\frac{1}{{a}_{2n}{a}_{2n+1}}$=（$\frac{1}{{a}_{2n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$）$\frac{1}{{a}_{2n}}$，
由（Ⅰ）得，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為1，公差為$\frac{2}{3}$的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{2n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$=-$\frac{4}{3}$，
即b_n=（$\frac{1}{{a}_{2n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$）$\frac{1}{{a}_{2n}}$=-$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{{a}_{2n}}$，
∴b_n+1-b_n=-$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{{a}_{2n+2}}$-$\frac{1}{{a}_{2n}}$）=-$\frac{4}{3}$×$\frac{4}{3}$=-$\frac{16}{9}$，
且b₁=-$\frac{4}{3}$×$\frac{1}{{a}_{2}}$=-$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{3}$）=-$\frac{20}{9}$
∴{b_n}是首項b₁=-$\frac{20}{9}$，公差為-$\frac{16}{9}$的等差數(shù)列，
∴T_2n=b₁+b₂+…+b_n=-$\frac{20}{9}$n+$\frac{n（n-1）}{2}$×（-$\frac{16}{9}$）=-$\frac{4}{9}$（2n²+3n）

點評 本題以遞推數(shù)列為背景考查等差數(shù)列的判定以及利用基本量的求和運算，（Ⅰ）重點考查利用數(shù)列遞推形式構(gòu)造等差或等比數(shù)列以及等差數(shù)列的判定方法；（Ⅱ）主要考查數(shù)列求和應(yīng)首先探尋通項公式，通過分析通項公式的特征發(fā)現(xiàn)求和的方法．