Question

12．已知定義在（0，+∞）上連續(xù)可導的函數(shù)f（x）滿足xf'（x）+f（x）=x，且f（1）=1，則（　�。�

• A． f（x）是增函數(shù)
• B． f（x）是減函數(shù)
• C． f（x）有最大值1
• D． f（x）有最小值1

Answer 1

分析 由題意可知：兩邊積分，及f（1）=1，即可求得f（x）的解析式，利用導數(shù)，即可求得函數(shù)的單調(diào)性及最值．

解答 解：由題意可知：xf'（x）+f（x）=x，則[xf（x）]′=x，兩邊積分可知：∫[xf（x）]′dx=∫xdx，則xf（x）=$\frac{1}{2}$x²+C，
則f（x）=$\frac{1}{2}$x+$\frac{C}{x}$，（x＞0），
由f（1）=1，
則C=$\frac{1}{2}$，則f（x）=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2x}$，
則f′（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1}{2{x}^{2}}$，
令f′（x）=0解得：x=1，
當f′（x）＞0，解得：x＞1，
當f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴當x=1時，f（x）取最小值，最小值為1，
故選：D．

點評 本題考查導數(shù)的綜合應用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，利用積分法求函數(shù)的解析式，考查轉化思想，屬于中檔題．