Question

已知向量

a

=（3，4），向量

b

=（-4，3），向量

m

=k

a

+（2t-1）

b

，向量

n

=

a

+（t+1）

b

，其中t∈[-4，3]．
（1）若向量

m

⊥

n

，求k的取值范圍
（2）若向量

m

∥

n

，寫出k關于t的函數表達式k=f（t），并作出此函數的圖象．

Answer 1

考點：函數圖象的作法,數量積判斷兩個平面向量的垂直關系

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用,平面向量及應用

分析：（1）化簡

m

=（3k-8t+4，4k+6t-3），

n

=（-4t-1，3t+7）；由

m

⊥

n

可得

m

•

n

=（3k-8t+4）（-4t-1）+（4k+6t-3）（3t+7）=0，從而可得k=-2t²-t+1，配方法求值域；
（2）由

m

∥

n

得到（3k-8t+4）（3t+7）-（-4t-1）（4k+6t-3）=0，化簡可得k=

2t-1

t+1

，t∈[-4，-1）∪（-1，3]；從而作函數的圖象．

解答：解：（1）由題意，

m

=k

a

+（2t-1）

b

=k（3，4）+（2t-1）（-4，3）
=（3k-8t+4，4k+6t-3），

n

=

a

+（t+1）

b

=（3，4）+（t+1）（-4，3）
=（-4t-1，3t+7）；
∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=（3k-8t+4）（-4t-1）+（4k+6t-3）（3t+7）=0，
即k=-2t²-t+1
=-2（t+

1

4

）²+

9

8

，
∵t∈[-4，3]，
∴t+

1

4

∈[-

15

4

，

13

4

]，
∴-27≤-2（t+

1

4

）²+

9

8

≤

9

8

；
故k的取值范圍為[-27，

9

8

]；
（2）∵

m

∥

n

，
∴（3k-8t+4）（3t+7）-（-4t-1）（4k+6t-3）=0，
∴kt+k-2t+1=0；
即k（t+1）-2t+1=0，
若t+1=0，上式不成立，
故t+1≠0；
故k=

2t-1

t+1

，t∈[-4，-1）∪（-1，3]；
作函數圖象如右圖．

點評：本題考查了平面向量的應用及函數的圖象的作法，屬于中檔題．