Question

4．已知奇函數(shù)f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{a+{2}^{x+1}}$的定義域?yàn)镽．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在兩個(gè)不同點(diǎn)，使得過這兩個(gè)點(diǎn)的直線與x軸平行，如果存在，求出這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）≤0恒成立，試指出實(shí)數(shù)k是否存在最大值及最小值，證明你的判斷．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0，及f（-1）+f（1）=0，可得a=2，b=1，注意檢驗(yàn)；
（2）將f（x）變形，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可判斷f（x）在R上遞減，進(jìn)而判斷不存在兩點(diǎn)；
（3）運(yùn)用f（x）的單調(diào)性，以及參數(shù)分離和恒成立思想，由二次函數(shù)的性質(zhì)求得最小值，即可得到k的范圍，進(jìn)而得到k的最大值．

解答 解：（1）奇函數(shù)f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{a+{2}^{x+1}}$的定義域?yàn)镽，
即有f（0）=0，即b-1=0，解得b=1；
又f（-1）+f（1）=0，即$\frac{1-\frac{1}{2}}{a+1}$+$\frac{1-2}{a+4}$=0，
解得a=2，
即有f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$，
由f（-x）=$\frac{1-{2}^{-x}}{2（1+{2}^{-x}）}$=$\frac{{2}^{x}-1}{2（{2}^{x}+1）}$=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)，故a=2，b=1；
（2）由f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$
=-$\frac{1}{2}$•$\frac{{2}^{x}+1-2}{{2}^{x}+1}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{1+{2}^{x}}$，
由y=2^x在R上遞增，
可得f（x）在R上遞減，
故在函數(shù)f（x）的圖象上不存在兩個(gè)不同點(diǎn)，
使得過這兩個(gè)點(diǎn)的直線與x軸平行；
（3）對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）≤0恒成立，
即有f（t²-2t）≤-f（2t²-k）=f（k-2t²），
由f（x）在R上遞減，可得
t²-2t≥k-2t²，
即k≤3t²-2t恒成立，
由3t²-2t≥-$\frac{1}{3}$，
故k≤-$\frac{1}{3}$．
則k存在最大值，且為-$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，同時(shí)考查參數(shù)分離和恒成立思想，屬于中檔題．