Question

20．設(shè)$f（n）={（{\frac{1+i}{1-i}}）^n}+{（{\frac{1-i}{1+i}}）^n}$（n∈N），則集合{x|x=f（n）}中元素個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 無(wú)窮多個(gè)

Answer 1

分析 依據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則，化簡(jiǎn)：$\frac{1+i}{1-i}$和$\frac{1-i}{1+i}$，得到f（n）=iⁿ+（-i）ⁿ，分 n=4k，n=4k+1，n=4k+2，n=4k+3這四種情況分別求出f（n）的值，即得結(jié)論

解答 解：∵$\frac{1+i}{1-i}$=$\frac{（1+i）^{2}}{（1-i）（1+i）}$=i，∴$\frac{1-i}{1+i}$=$\frac{1}{i}$=-i，
根據(jù)虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，$f（n）={（{\frac{1+i}{1-i}}）^n}+{（{\frac{1-i}{1+i}}）^n}$=iⁿ+（-i）ⁿ=$\left\{\begin{array}{l}{2，（n=4k，k∈z）}\\{0，（n=4k+1，或n=4k+3，k∈z）}\\{-2，（n=4k+2，k∈z）}\end{array}\right.$，
故集合{x|x=f（n）}中元素個(gè)數(shù)是3個(gè)，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，分類討論是解題的難點(diǎn)．