Question

6．已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x-1），當0≤x≤1時，f（x）=x²，若函數y=f（x）-x-a在[0，2]內有三個不同的零點，則實數a的取值范圍為$-\frac{1}{4}＜a＜0$．

Answer 1

分析 由f（x+1）=f（x-1），知函數f（x）是以2為周期的函數，函數y=f（x）-x-a在[0，2]內有三個不同的零點，就是函數y=f（x）與直線l：y=x+a在[0，2]內有三個不同的交點，作出圖象，利用導數的幾何意義可求得
y=x+a與y=x²相切時的a的值，即可得到答案．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴函數f（x）是以2為周期的函數，
又函數f（x）是定義在R上的偶函數，且當0≤x≤1時，f（x）=x²，
∴當-1≤x≤0時，f（x）=x²，
若函數y=f（x）-x-a在[0，2]內有三個不同的零點，就是函數y=f（x）與直線l：y=x+a在[0，2]內有三個不同的交點，
作圖如下：

由圖可知，當直線l：y=x+a過原點與（1，1）（就是直線l₁）時，l與y=x²有兩個交點，此時a=0；
當l與y=x²相切時與函數y=f（x）表示的曲線有兩個公共點（如圖中直線l₂），由y′=2x=1，知x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{1}{4}$，即切點坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），代入y=x+a得：a=-$\frac{1}{4}$．
當l在直線l₁與l₂之間時，y=f（x）表示的曲線與l有三個公共點，
此時-$\frac{1}{4}$＜a＜0，
故答案為：$-\frac{1}{4}＜a＜0$．

點評 本題考查根的存在與零點個數的判斷，著重考查二次函數的圖象與性質，考查導數的幾何意義，作圖是關鍵，屬于難題．